勾股数有哪些？一个公式玩转勾股数

大家好，勾股数有哪些相信很多的网友都不是很明白，包括一个公式玩转勾股数也是一样，不过没有关系，接下来就来为大家分享关于勾股数有哪些和一个公式玩转勾股数的一些知识点，大家可以关注收藏，免得下次来找不到哦，下面我们开始吧！

上篇中，通过合情推理，得到了勾股数公式。

本篇为证明应用篇，知识背景为整除及公因子的相关性质。

公式怎么证明，有什么用？分4步讨论

Q2：退一步说，公式是否遍历所有互素勾股数

Q2'：若Q2成立，如何添加条件，使公式不重不漏地遍历互素勾股数

A1：勾股数[9,12,15]不能由公式生成，猜想不成立。

（令b=12，c=15，则b+c=27=(u+v)2，矛盾）

Q2：公式是否遍历所有互素勾股数？

考虑互素勾股数中a,b,c及u,v满足的性质

II.a，b中有一个为偶数（设为b）

III.勾股公式中，(u,v)=1，v＜u且2|u·v

I.设[a,b,c]为勾股数，即a2+b2=c2，a,b,c为整数，则

II.若(a,b,c)=1，则c为奇数，a,b一奇一偶。

矛盾，因而c为奇数，a,b一奇一偶

III.若(a,b,c)=1，则(u,v)=1，且2|u·v

根据公式，由a,b,c互素知u,v互素。

若u,v同为奇数，则a,b,c均为偶数，与互素矛盾

IV.反之，若(u,v)=1，且2|u·v，则(a,b,c)=1

结合III和IV，为使公式只遍历互素勾股数

添加条件：(u,v)=1，且2|u·v

实际上，增加条件后并不影响公式可遍历的勾股数类

新生成的勾股数同乘2，将得到原勾股数

有了相关性质，就可以着手公式证明了

给定的互素勾股数[a,b,c]，是否可以唯一找到uv，通过uv生成[a,b,c]。

对勾股数[a,b,c]，通过b，c可唯一反解出u，v。当且仅当c±b为平方数时，u，v有整数解，问题得证。

由勾股定理，(c+b)(c-b)为平方数(即a2)

当c+b与c-b互素时，c±b为平方数

（由于a2可分解为平方因子乘积）

∴(c+b,c-b)=(2c,c-b)=(c,c-b)=(c,b)=1

故c+b与c-b互素，c±b为平方数，证毕。

则u,v在条件下遍历正整数时，公式可以不重不漏地遍历互素勾股数，其中b为勾股数中的偶数项。

原理比较简单，不妨自己试试，后台回复“勾股公式”，可以查看参考代码（python）。

上篇的末尾留下的问题：求含k的所有勾股数

实际上，只需求出含k因子的互素勾股数，再导出含k勾股数。

以k=12为例，先求出含有1,2,3,4,6,12的互素勾股数

由互素勾股数性质，只需考虑含有3,4,12的情况：

得到勾股数[12,35,37]，[12,5,13]

令b=4，或a=3，得u=v=1，得到勾股数[4,3,5]

因而，含有12的勾股数有且仅有这四组

12=22×3，则包含12的互素勾股数有2个

2018=2×1009，则不存在包含2018的互素勾股数

但可由1009，导出勾股数[2018,1018080,1018082]

一般地，若k＞1，当且仅当k为奇数或被4整除时，k含在某组互素勾股数中。

特别地，对任意整数k＞2，一定存在包含k的勾股数。且通过分解k，可构造出所有包含k的勾股数。

勾股数[a,b,c]中，总包含3，4，5的倍数

设u,v=kx+y，分类讨论，容易证明：

当b=4uv不被3整除时，a=|4u2-v2|必为3的倍数。

当b=4uv不被5整除时，a=|4u2-v2|与c=4u2+v2必有一个是5的倍数

其中，被3，4，5整除的可能是同一个数

例如[11,60,61]中，60被3,4,5整除

④近期的数学打卡，也有不少和勾股数相关的问题

学习越是深入，越是自觉所知甚少，到这里，你还觉得关于勾股定理只是a2+b2=c2吗

数论探究往往会与各种巧合不期而遇

[72,1295,1297]

[108,2915,2917]

同时也发现了2,3幂次的一些“巧合”

伴随探究而来的小确幸，也使得数学更加好玩。

P.S.探究中的疏漏之处，还请留言区指出。

*本文作者王至宏，广州大学数学系大四学生，好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍，好玩的数学给你一个展示才华的平台。

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